On va parler aujourd’hui d’un truc vraiment cool en maths : le produit en croix, ou la règle de trois. Ça sonne peut-être barbant dit comme ça, mais c’est en réalité un outil hyper pratique et assez simple à comprendre. Que vous soyez étudiant, prof, ou simplement curieux, ce guide est fait pour vous. Alors, c’est parti, découvrons ensemble le produit en croix !
Calculez un produit en croix instantanément grâce à notre outil
Comment se servir de notre outil de produit en croix ?
Pour faire une règle de trois (ou produits en croix) grâce à notre outil c’est très simple : saisissez les 3 valeurs connues dans les cases, la 4e valeur, la valeur inconnue, sera calculée et affichée instantanément.
Dans cet article, vous trouverez
Mais qu’est-ce au juste que le produit en croix ou « règle de trois » ?
Malgré son nom qui peut faire peur 😱, la « règle de trois » ou « produit en croix » est en réalité une simple opération de multiplication et de division, ce qui en fait une des techniques de base des mathématiques. Elle est d’ailleurs généralement enseignée au primaire !
Imaginez un tableau comportant quatre valeurs. Si ces valeurs sont proportionnelles, lorsque vous multipliez celles en diagonale, vous obtenez le même résultat. C’est ce qu’on appelle le produit en croix.
Autrement dit, dans le tableau ci-dessus, on a :
a×d=b×c
Admettons maintenant que vous connaissiez déjà trois de ces valeurs et que vous cherchiez à déterminer la quatrième pour maintenir la proportionnalité. C’est là que le produit en croix intervient. On l’appelle également la règle de trois, ou le calcul en croix. Cette règle, c’est votre outil pour trouver cette quatrième valeur manquante qui complétera harmonieusement votre tableau.
Puisque a×d=b×c, si on cherche par exemple à déterminer b, on a b = a x d / c
Si on cherche à déterminer c, on a : c = a x d / b
Si on cherche à trouver d, on a : d = c x b / a
Qu’est ce que la règle de 3 composée ?
La règle de trois composée est une extension de la règle de trois simple, permettant de résoudre des problèmes de proportionnalité plus complexes qui impliquent plus de deux valeurs ou ratios.
La règle de trois simple s’applique lorsque deux grandeurs sont proportionnelles. Par exemple, si le prix de 2 kilogrammes de pommes est de 4 euros, quel serait le prix de 5 kilogrammes ? Ici, nous avons un rapport direct entre le poids des pommes et leur coût.
La règle de trois composée intervient lorsque la relation de proportionnalité concerne plus de deux grandeurs.
Par exemple, supposons que vous souhaitiez peindre une pièce. Vous savez qu’une boîte de peinture couvre 10 mètres carrés et coûte 20 euros. Si vous avez une pièce de 30 mètres carrés à peindre, combien cela coûterait-il ? Ici, nous avons trois grandeurs : le coût de la peinture, la surface couverte par la peinture et la surface de la pièce.
Pour résoudre ce problème à l’aide de la règle de trois composée, vous pouvez procéder de la manière suivante :
- Établissez d’abord un rapport entre le coût de la peinture et la surface qu’elle couvre : 20 euros / 10 m² = 2 €/m².
- Ensuite, utilisez ce ratio pour calculer le coût de peinture pour la surface de la pièce : 2 euros/m² * 30 m² = 60 €.
Donc, il vous en coûterait 60 € pour peindre une pièce de 30 mètres carrés.
C’est ainsi que la règle de trois composée vous permet de résoudre des problèmes de proportionnalité impliquant plus de deux grandeurs.
Produits en croix et pourcentages, il y a un rapport ?
Les produits en croix et les pourcentages sont souvent liés dans les calculs de proportionnalité. Un calcul de pourcentage est, par définition, une fraction ou un ratio sur 100. Cela signifie que si vous avez une certaine quantité représentée en pourcentage, vous pouvez facilement l’exprimer en ratio et l’utiliser pour effectuer des produits en croix.
Par exemple, supposons que vous ayez une population de 500 personnes et que vous sachiez que 20% d’entre elles ont un certain attribut (par exemple, elles sont gauchères). Si vous voulez savoir combien de personnes sont gauchères, vous pouvez faire des calculs en croix. Vous faites le produit de 500 (la population totale) et de 20 (le pourcentage de gauchers), puis vous divisez par 100 (car le pourcentage est un ratio sur 100). Le calcul serait donc : (500 * 20) / 100 = 100. Donc, dans cet exemple, 100 personnes seraient gauchères.
Dans l’autre sens, si vous voulez déterminer quel pourcentage d’une population possède un certain attribut, vous pouvez également utiliser la formile en croix. Si, par exemple, 250 personnes sur une population de 2000 sont rousses, le pourcentage de roux est : (250 * 100) / 2000 = 12.5%.
Ainsi, produits en croix et pourcentages sont deux outils étroitement liés pour travailler avec des ratios et des proportions.
La règle de trois, ou produit en croix, ça sert à quoi ?
Vous en entendez souvent parler, de cette méthode de calcu, mais vous ne savez pas au juste à quoi elle sert ? Et bien elle est extrêmement utile, et ce depuis la nuit des temps si l’on peut dire 😉
Cette formule est en effet un concept très ancien, présent dans les premiers textes mathématiques connus, comme le papyrus Rhind, un document égyptien datant d’environ 1650 avant JC. C’est la preuve que ce concept nous est extrêmement utile depuis toujours.
Le produit en croix est utile dans des centaines de situations du quotidien !
Voici des exemples détaillés d’applications du calcul en croix dans différents contextes :
Dans la vie quotidienne – Conversion de monnaies : si vous voyagez à l’étranger, vous aurez probablement besoin de convertir votre monnaie en monnaie locale. Pour cela, vous pouvez utiliser ce calcul, qui vous indiquera combien vous recevrez dans la nouvelle monnaie pour une certaine quantité de votre monnaie d’origine.
Exemple : Supposons que le taux de change soit de 1 euro pour 1,2 dollar. Si vous avez 50 euros, combien recevrez-vous en dollars ? Utilisez la méthode en croix : (1,2 dollars/euro) x 50 euros = 60 dollars.
En économie – Calcul des taux d’intérêt : en économie, cette règle de calcul est souvent utilisée pour calculer les taux d’intérêt. Si vous savez combien d’intérêt vous gagnez pour une certaine somme d’argent sur une certaine période, vous pouvez utiliser cette formule pour déterminer combien vous gagneriez ou devriez pour une somme ou une période différente.
Exemple : Supposons qu’un placement vous rapporte 5% d’intérêt par an, soit 50 euros pour un investissement de 1000 euros. Combien rapporterait un investissement de 2000 euros ? On utilise la formule en croix : (50 euros/1000 euros) x 2000 € = 100 €.
En chimie – Calcul des concentrations : en chimie, la concentration d’une solution est la quantité de soluté présente dans une certaine quantité de solvant. Si vous connaissez la concentration d’une solution et que vous voulez préparer une solution avec une concentration différente, vous pouvez utiliser la règle de trois pour déterminer combien de soluté vous aurez besoin.
Exemple : Supposons que vous ayez une solution de 20 g/l et que vous vouliez préparer 2 litres d’une solution de 10 g/l. Combien de la solution initiale devriez-vous utiliser ? Utilisez la formule en croix : (20 g/l / 10 g/l) x 2 l = 4 l.
En physique – Calcul des distances : en physique, si vous connaissez la vitesse à laquelle vous vous déplacez et le temps que vous avez passé, vous pouvez utiliser cette formule en croix pour déterminer la distance que vous avez parcourue.
Exemple : Supposons que vous conduisiez à une vitesse constante de 60 km/h pendant 2 heures. Quelle distance avez-vous parcourue ? Utilisez la règle de trois : 60 km/h x 2 h = 120 km.
NB : cela permet aussi de calculer la consommation d’essence de votre véhicule et donc le coût du carburant par trajet. Il consomme du 7 litres aux 100 donc 7 litres pour 100 km. Donc pour 120 : 7*120/100 = 8,4 litres ! A 2 € le litre cela fait 16,8 €
En informatique – Redimensionnement d’images : en programmation, si vous voulez redimensionner une image tout en conservant ses proportions, vous pouvez utiliser le produit en croix. Vous déterminez le nouveau dimensionnement d’un côté de l’image, puis vous utilisez la méthode pour déterminer la taille de l’autre côté.
Exemple : Supposons que vous ayez une image de 800 pixels de large et 600 pixels de haut, et que vous vouliez la réduire à une largeur de 400 pixels. Quelle sera la hauteur de l’image ? On calcule : (600 pixels/800 pixels) x 400 pixels = 300 pixels.
En cuisine – Adaptation de recettes : supposons que vous ayez une recette prévue pour 4 personnes, mais que vous vouliez la préparer pour 6 personnes. Vous pouvez utiliser cette méthode pour ajuster les quantités de chaque ingrédient.
Exemple : Imaginons que la recette requière 500g de farine pour 4 personnes. De combien de farine aurez-vous besoin pour 6 personnes ? Cela fait : (500g / 4 personnes) x 6 personnes = 750g. Vous aurez donc besoin de 750g de farine pour préparer la recette pour 6 personnes.
Dans l’éducation – Conversion de notes : si une note est donnée sur une échelle différente de celle habituellement utilisée, par exemple sur 30 au lieu de sur 20, vous pouvez utiliser le produit en croix pour la convertir.
Exemple : Supposons que vous ayez eu 24 sur 30 à un examen. Quelle serait votre note sur 20 ? Cela fait : (24 points / 30 points) x 20 points = 16/20.
A noter : pour ce calcul, vous pouvez aussi utiliser notre convertisseur de note en ligne qui calculera la note sur 20
Questions – réponses fréquentes
La règle de trois est-elle utilisée seulement en mathématiques ?
Non, c’est avant tout une technique mathématique, mais elle est largement utilisée dans d’autres domaines, comme l’économie, la science, la cuisine, la physique, la chimie et même en informatique.
Le produit en croix fonctionne-t-il toujours pour résoudre des problèmes de proportionnalité ?
Oui, tant que le rapport entre deux grandeurs reste constant, cette méthode peut être utilisée pour résoudre tous les problèmes de proportionnalité.
Pourquoi la règle de trois s’appelle-t-elle ainsi ?
Le nom « règle de trois » vient du fait qu’elle nécessite trois valeurs connues pour calculer la quatrième inconnue. De même le produit en croix s’appelle ainsi car on fait un produit (une multiplication) en forme de croix.
Est-il possible d’utiliser la règle de trois avec des pourcentages ?
Oui, cette méthode est très souvent utilisée avec des pourcentages. Par exemple, pour calculer combien représente un certain pourcentage d’un total, ou pour convertir une note sur une échelle à une autre.
Est-ce que la règle de trois est la même dans tous les pays ?
Oui, bien que le nom puisse varier en fonction de la langue et de la culture, le concept en tant que technique de proportionnalité est universel. Voici quelques appellations du produit en croix dans d’autres pays :
- Anglais : « Cross-multiplication ». Cela signifie littéralement « Multiplication croisée »
- Espagnol : « Producto cruzado ». Cela se traduit par « Produit croisé »
- Italien : « Prodotto crociato » Cela signifie « Produit croisé »
- Allemand : « Kreuzprodukt ». Cela se traduit par « Produit croisé »
- Portugais : « Produto cruzado » Cela signifie « Produit croisé »