Dans cet article, nous allons clarifier ce sujet. Le « volume du triangle » se réfère en réalité aux formes tridimensionnelles avec une base triangulaire, comme les prismes ou les pyramides. Nous verrons comment calculer le volume de ces formes, à partir d’un triangle simple. Nous aborderons des figures comme le prisme triangulaire et le tétraèdre. Même si un triangle ne peut pas avoir de volume, ces formes tridimensionnelles basées sur un triangle le peuvent. Alors, allons voir ensemble comment cela fonctionne en mathématiques.
Le volume du triangle : on parle de quoi, exactement ? 🤔
Le triangle, c’est plat, ça n’a pas de volume. Alors, quand on entend « volume du triangle », de quoi parle-t-on réellement ? C’est un peu comme demander le parfum d’une couleur – ça n’a pas vraiment de sens, n’est-ce pas ? Mais en géométrie, le contexte change tout !
Cette expression, un peu trompeuse, fait référence aux solides tridimensionnels dont la base est, vous l’avez deviné, un triangle. C’est le cas des prismes et des pyramides, par exemple. Quand on calcule leur volume, on parle alors du « volume du triangle », bien que le pauvre triangle plat n’ait rien demandé.
Alors, gardez bien ça en tête : quand on parle de volume d’un triangle, on est dans le monde fascinant des 3D, et non pas en train de plier une feuille de papier. Dans les prochaines sections, on va voir comment ces formes tridimensionnelles, basées sur un simple triangle, se débrouillent pour avoir un volume – et croyez-moi, ce n’est pas de la magie, juste de la bonne vieille géométrie.
Dans cet article, vous trouverez
Prisme, tétraèdre et pyramide : les dessous du volume d’un triangle en 3D
Le prisme triangulaire : c’est quoi son truc ?
Bon, parlons du prisme triangulaire. C’est un triangle qui s’est dit un jour : « Et si je devenais 3D ? ». Et pouf, le voilà qui s’étire en hauteur.
Pour le volume, rien de compliqué : on prend l’aire de la base (notre triangle de départ) et on la multiplie par la hauteur du prisme. En formule, ça donne V = A x h. V pour volume, A pour aire, et h pour hauteur. Simple, non ?
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Et le tétraèdre, alors ?
Le tétraèdre, c’est un peu le cousin excentrique du prisme. Imaginez une pyramide, mais au lieu d’une base carrée, elle a une base triangulaire. Et pour ne pas faire les choses à moitié, toutes ses faces sont des triangles équilatéraux.
Le calcul de son volume ? Un chouïa plus complexe :
V = (a³ x √2) / 12
Où a est la longueur d’un côté. Un peu de calcul et le tour est joué.
Pour mieux comprendre la formule voir notre explication ci-dessous
La pyramide, une étoile de la géométrie 3D
Et maintenant, la star des formes égyptiennes, la pyramide ! Mais ici, on parle de celles avec une base triangulaire. Alors, comment on calcule son volume ? C’est presque un jeu d’enfant : un tiers de l’aire de la base multiplié par la hauteur. En formule, ça se traduit par V = (1/3) x A x h. V pour volume, A pour l’aire de la base, et h pour la hauteur. Cette formule fonctionne peu importe que la base soit un triangle équilatéral, isocèle ou même scalène. C’est un peu comme si toutes les pyramides avaient leur propre signature de volume, mais la méthode de calcul reste la même.
Pour calculer facilement et en quelques secondes le volume d'une pyramide, utilisez notre outil de calcul de volume de la pyramide
Petit récap’ de volume du triangle
Alors, retenons que même si un triangle en 2D ne peut pas avoir de volume, dès qu’on passe en 3D avec des formes comme le prisme ou le tétraèdre, on entre dans le jeu du volume. Et là, c’est la géométrie qui prend les commandes.
Approfondissement du volume du triangle pour des prismes à bases triangulaires spécifiques 🤓
Maintenant que nous avons saisi la formule de base pour le volume d’un prisme triangulaire, explorons comment cela s’applique à des prismes avec différentes formes de bases triangulaires. Chaque type de triangle apporte sa touche unique au calcul.
Le volume du triangle équilatéral
Pour un prisme dont la base est un triangle équilatéral, la formule pour l’aire de la base devient un peu spéciale. Si chaque côté du triangle a une longueur a, l’aire de la base est A = (a² x √3) / 4. Ensuite, multipliez cette aire par la hauteur du prisme pour obtenir le « volume du triangle équilatéral ».
Le volume du triangle isocèle
Si la base est un triangle isocèle, avec deux côtés égaux, la formule de l’aire reste (base x hauteur) / 2. Une fois que vous avez l’aire, multipliez-la par la hauteur du prisme pour le volume.
Le volume du triangle rectangle 📐
Pour un prisme dont la base est un triangle rectangle, l’aire de la base se calcule facilement comme la moitié du produit des deux côtés perpendiculaires. Multipliez ensuite cette aire par la hauteur du prisme pour obtenir le volume du triangle rectangle.
À la recherche de l’aire et non du volume du triangle ? On a la réponse
Peut-être que dans votre quête du « volume du triangle », vous cherchiez en réalité quelque chose d’un peu plus… à plat ? L’aire du triangle, ça vous dit quelque chose ? C’est ici que les choses deviennent vraiment intéressantes en géométrie !
Le cas général : L’aire du triangle ordinaire
L’aire d’un triangle, c’est facile, il suffit de suivre les étapes 😉.
Pour un triangle quelconque, la formule est simple :
A= base × hauteur / 2
Vous prenez la longueur de la base, vous la multipliez par la hauteur (la distance perpendiculaire de la base au sommet opposé), et vous divisez le tout par deux. Facile, non ?
Triangle équilatéral : l’élégance de l’égalité
Dans le cas d’un triangle équilatéral, où tous les côtés sont égaux, la formule prend un petit air de fête. Avec chaque côté mesurant a, l’aire se calcule par A=√3 / 4 x a2. Parfaitement symétrique – satisfaisant, n’est-ce pas ?
Triangle rectangle : l’as du calcul
Ah, le bon vieux triangle rectangle ! Ici, l’aire se joue sur la facilité :
A=côté 1 × côté 2 / 2, où côté 1 et côté 2 sont les côtés perpendiculaires.
C’est logique puisque un triangle rectangle est une moitié de rectangle comme son nom l’indique : c’est donc le calcul de l’aire du rectangle … divisé par deux !
C’est un peu comme résoudre une équation facile en mathématiques – un plaisir coupable ! 😅
Quelle est la différence entre un tétraèdre et une pyramide ?
La différence principale entre un tétraèdre et une pyramide réside dans leur structure et le nombre de leurs faces.
- Tétraèdre :
- Un tétraèdre est un type de polyèdre (un solide en trois dimensions avec des faces planes).
- Il a exactement quatre faces, toutes triangulaires.
- Dans un tétraèdre régulier, ces faces sont des triangles équilatéraux identiques, ce qui signifie que tous ses côtés et angles sont égaux.
- Il a également quatre sommets et six arêtes.
- Le tétraèdre est considéré comme la forme tridimensionnelle la plus simple.
- Pyramide :
- Une pyramide est également un polyèdre.
- La différence majeure réside dans le fait que la base de la pyramide peut être n’importe quel polygone, et pas nécessairement un triangle. Les pyramides les plus courantes ont une base quadrilatérale (comme les pyramides d’Égypte).
- Elle a un nombre de faces égal à n + 1, où n est le nombre de côtés de la base. Par exemple, une pyramide avec une base carrée aura 5 faces (4 faces triangulaires et 1 base carrée).
- La pyramide a également un sommet unique, d’où partent toutes les faces triangulaires.
En résumé, bien que le tétraèdre soit une forme de pyramide (pyramide à base triangulaire), toutes les pyramides ne sont pas des tétraèdres. La pyramide peut avoir diverses formes de bases, tandis que le tétraèdre est strictement limité à des bases et des faces triangulaires. Autrement dit quand on parle de volume d’un triangle, on parle le plus souvent du tétraèdre et non d’une simple pyramide
Pourquoi calcule-t-on le volume d’un tétraèdre de cette façon ?
Le calcul du volume d’un tétraèdre régulier, exprimé par la formule V = (a³ x √2) / 12, est en fait lié à la géométrie de la forme et peut être mieux compris en partant du principe de calcul du volume d’une pyramide.
Volume d’une Pyramide Générale :
Le volume d’une pyramide est donné par la formule V=1/3 × Aire de la base × Hauteur. Cette formule est valable quelle que soit la forme de la base.
Application à un Tétraèdre Régulier :
Dans un tétraèdre régulier, la base est un triangle équilatéral. L’aire d’un triangle équilatéral avec un côté de longueur a est a = √3 / 4 x a2
(en effet l’aire d’un triangle est égale à base x hauteur / 2. Pour calculer la hauteur, on coupe le triangle équilatéral en deux triangles rectangles égaux, et on utilise le théorème de Pythagore. On a hauteur2 x (1/2 a)2 = a2. Donc hauteur = √ (a2 – 1/4 x a2 ) = √3 / 2 x a. Donc l’aire du triangle est bien égale à a (base) x √3 / 2 x a (hauteur) / 2 = √3 / 4 x a2
La hauteur d’un tétraèdre régulier (la distance perpendiculaire du sommet à la base) n’est pas directement égale à la longueur des arêtes. Elle est calculée par la géométrie 3D du tétraèdre.
Calcul de la Hauteur du Tétraèdre :
La hauteur d’un tétraèdre régulier peut être trouvée en utilisant des propriétés géométriques et trigonométriques des triangles. Elle est égale à ℎ= a x √6 / 3
Assemblage des Composants :
En substituant l’aire de la base et la hauteur dans la formule du volume de la pyramide, on obtient V=1/3 × Aire de la base × Hauteur = 1/3 x √3 / 4 x a2 x a x √6 / 3. En simplifiant cette expression, on arrive à V = (a³ x √2) / 12
Cette formule pour le volume d’un tétraèdre régulier est donc dérivée en utilisant les principes de base de la géométrie des pyramides et des triangles, en adaptant les mesures spécifiques à la forme unique du tétraèdre.
Comment calculer le volume d’une forme conique ?
Le volume d’un cône se calcule en utilisant la formule V= 1/3 π x r2 x h, où r est le rayon de la base circulaire du cône et h est la hauteur du cône (la distance perpendiculaire du sommet à la base).
Pour connaître le volume d'un cône sans calculs, utilisez notre outil de calcul de volume du cône
Comment calculer le volume en m3 ?
Pour calculer le volume en mètres cubes (m³), mesurez les dimensions de l’objet en mètres et utilisez la formule appropriée pour le volume (comme V=longueur×largeur×hauteur pour un parallélépipède, ou les formules spécifiques pour des formes comme des cônes, des sphères, etc.). Assurez-vous que toutes les mesures sont en mètres pour obtenir un volume en mètres cubes.
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Quel est le volume d’un rectangle ?
Un rectangle est une forme bidimensionnelle et, en tant que tel, ne possède pas de volume. Cependant, si vous parlez d’un parallélépipède rectangle (un solide en 3D), son volume se calcule en multipliant sa longueur, sa largeur et sa hauteur (toutes en unités similaires).
La formule est V=longueur × largeur × hauteur.
